TEORIA DE COLAS

 

La teoría de colas o el estudio de las mismas es el manejo e investigación de los procesos ocurridos dentro de un sistema con datos entrantes, procesados y salientes con un tiempo de atención.

Es una herramienta empleada desde hace décadas y que ha evolucionado desde su creación, explorando diversos modelos de Colas que pueden existir y clasificándolos según sea el caso.

“La primera aplicación de teoría de Colas se debe al matemático danés Erlang sobre conversaciones telefónicas en 1909 para el cálculo de tamaño de las centralitas. “(Santiago de la Fuente Fernández, 2015. P.3)

Como se podrá suponer, el objetivo de estas investigaciones es la búsqueda del manejo optimo de estos procesos, en pro de la eficiencia y eficacia del sistema.

Dicho esto, utilicemos algunas citas para responder rápidamente a algunas preguntas básicas:

1.   ¿Qué es una Línea de Espera?

“Una Línea de Espera es una hilera formada por uno o varios clientes que aguardan para recibir un servicio.” (Santiago de la Fuente Fernández, 2015. P.3)

2.   ¿Qué son los clientes o usuarios?

“Los clientes pueden ser personas, objetos, máquinas que requieren un mantenimiento, contenedores de mercancías para ser embarcados, elementos de inventario para ser utilizados, etc. “(Santiago de la Fuente Fernández, 2015. P.3)

3.   ¿Por qué existen las Líneas de Espera?

“Una Línea de Espera se forma por un desequilibrio temporal entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para gestionarlo. “(Santiago de la Fuente Fernández, 2015. P.3)

4.   ¿Cuál es la utilidad e importancia de estos modelos?

“Los Modelos de Líneas de Espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más eficaz, permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera:  Proporcionar demasiada capacidad de servicio para operar el sistema implica costos excesivos. De otra parte, si no se cuenta con suficiente capacidad de servicio surgen esperas excesivas con desafortunadas consecuencias.” (Santiago de la Fuente Fernández, 2015. P.3)

Todos estos modelos poseen características únicas que los clasifican como diversos casos de colas, pero todos comparten cuatro (4) características comunes:

♦ Población de Usuarios.

♦ Una o varias filas de espera.

♦ El o los Servidores.

♦ Una regla de prioridad.

En esta sección del blog hablaremos de las Redes cerradas, en específico, las Colas Cerradas de Jackson

“Redes cerradas:  No entran nuevos clientes y los clientes existentes nunca salen, esto es, el número de clientes es constante en el tiempo, como puede ser la reparación de máquinas.” (Santiago de la Fuente Fernández, 2015. P.129)

COLAS CERRADAS DE JACKSON

Las redes de Jackson cerradas poseen las siguientes características:

·      No entran ni salen clientes, por lo que N es constante.

·      Cuando un dato termina el proceso en el nodo i, este pasa al nodo j con una probabilidad

·      Cada cola es independiente.

Sabiendo esto, debemos conocer la siguiente simbología:

K = Cantidad total de nodos en la red.

Medidas de rendimiento.

Li(M)= Numero medio de tareas en el nodo i.

Wi(M) = Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i.

= Tasa real de salida del nodo i.

Ecuaciones de Equilibrio.

Para apreciarlo mejor veamos el siguiente Video.

https://youtu.be/5kh--SK3PAU

autor: 

Brian Rodriguez C.I: 27.820.343 

 

Referencia: De la Fuente Fernández, S. (2015). https://www.estadistica.net/INVESTIGACION/TEORIA-COLAS.pdf

MODELO DE COLA CON DISTRIBUCIÓN ERLANG

DEFINICIÓN

La variable aleatoria Erlang mide el tiempo entre “r” conteos de un proceso de Poisson. Es decir, mide el tiempo hasta que ocurren no dos sino varios eventos en el mismo intervalo de tiempo.

FORMULAS

EJEMPLO

Si a las 10 de la mañana abren una tienda de floristería. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que entre la quinta persona? ¿Si entro la segunda persona, cuanto tiempo pasa hasta que entre la cuarta persona?

EJERCICIO

En una tienda de computación un ingeniero realiza un chequeo a los repuestos que van llegando para luego colocarlos en el almacén. Suponga que los repuestos son almacenados de acuerdo a un proceso de Poisson r=30 repuestos por minuto. Al realizar un chequeo a 5 repuestos estos luego son colocados en el almacén. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero almacene los primeros 5 repuestos en menos de 10 segundos?

Primero que nada, se encuentra Lambda. Según el enunciado 30 repuestos son colocados en el almacén por minuto, un minuto tiene 60 segundos. Por lo tanto, Lambda va ser igual a el total de repuestos almacenados, dividido entre el tiempo:

Ahora usando la formula general se tiene que, x será el tiempo hasta que lleguen los 5 repuestos que serán almacenados. Lambda será el promedio de repuestos por minuto. Y, r es el número de eventos que se van a contar, en este caso 5 repuestos. Entonces:

Ahora para darle solución a la al ejercicio tenemos que, la probabilidad de almacenar 5 repuestos en menos de 10 segundos, será la integral de F(x) que va de 0 a 10 segundos. Entonces:

VIDEO

AUTOR:

Karla Santamaria V-26.596.909

REFERENCIAS

Mala H. Distribucion Erlang. Recuperado de: https://es.scribd.com/document/140199556/Distribucion-Erlang

SERIES Y REDES. MODELO DE JACKSON ABIERTAS.

Red de colas 

    De acuerdo al estudio realizado por la universidad autónoma de Madrid, una red de colas es un grupo de nodos que están unidos entre sí por medio de caminos y cada nodo está formado por un sistema de colas con uno o varios servidores.

    Existen dos tipos de red de colas las cerradas donde los clientes no entran ni salen del sistema por lo tanto permanecen circulando indefinidamente dentro del mismo y las abiertas donde cada cliente entra al sistema en un momento dado y tras pasar por una o varias colas sale del sistema, estas a su vez pueden ser acíclicas es cuando los clientes no pueden volver a la misma cola o cíclicas cuando hay ciclos en la red. 

RED DE JACKSON ABIERTA

“Una red de Jackson (a veces red Jacksoniana) es una clase de red de colas  donde la distribución de equilibrio es particularmente simple de calcular ya que la red tiene una solución en forma de producto”

Es decir para que una red de colas abiertas sea de Jackson tiene que cumplir las siguientes condiciones:

1.    Debe haber una clase de clientes.  

2.   Las rutas son probabilísticas donde Pij ≥ 0 es la probabilidad de ir al nodo j después de salir del nodo i, por otro parte Pi0 es la probabilidad de salir del sistema después de haber salido del nodo i.

3.    Si casa nodo i es una cola.

     La tasa de llegadas externas al nodo i tiene la notación: λi  

     La notación del número total de nodos en la red es: k

                     Ecuaciones de equilibrio:

                Teorema

En una red Jackson abierta de m colas M / M / 1 donde la utilización Pi es menor que 1 en cada cola, la distribución de probabilidad del estado de equilibrio existe y para el estado  viene dado por el producto de las distribuciones de equilibrio de las colas individuales.

 Medidas de rendimiento en nodos con colas M/M/1 

factor de saturación:

numero medio de clientes en cola (nodo i)

Número medio de clientes en el sistema (nodo i)

Tiempo medio espera en cola de nodo i:

Tiempo medio de espera en cada nodo (subsistema):

 

ejemplo: 

Los servidores de dos tiendas de sistemas de computación, según una disciplina FIFO, según un proceso de Poisson reciben respectivamente 20 y 30 procesos de usuarios por minuto. El servidor de la primera tienda tiene capacidad para atender una media de 100 procesos por minuto, mientras que cualquiera de los dos procesadores del servidor de la segunda tienda puede atender a 25 procesos, con tiempo de procesado exponenciales. Cuando un proceso está a punto de finalizar en el servidor de la segunda tienda crea un nuevo proceso hijo en el servidor de la primera tienda el 25% de los casos,  en otro caso termina totalmente su ejecución. Por otra parte, los procesos que se encuentran a punto de finalizar en el servidor de la primera tienda crean un nuevo proceso en su servidor el 20% de los casos, en caso contrario cuando terminan su ejecución envían otro proceso al servidor de la segunda tienda un 10% de las veces.

Se necesita conocer:

a)  El número medio de procesos en cada servidor.

Solución

a)  Es una red de Jackson cíclica abierta con K 2 =  nodos.

  

Nodo 1 con un servidor  S1 = 1 

Nodo 2 con dos servidores  S2 = 2

Tasas de llegada y servicio (procesos/ minuto) desde fuera del sistema son:

λ1=20   λ2=30   μ1=100   μ2=25 

         utilizamos la ecuación de equilibrio en forma matricial:

                            

Probabilidades de transición  

    Las ecuaciones de los Λi  son intuitivas

   En cada nodo el flujo de entrada debe ser igual al flujo de salida.

 La tasa global de salidas del sistema coincide con el número de procesos que entran en el sistema: 

Condición de no saturación aplicada a cada uno de los nodos por separado es:

universidad autónoma de Madrid Series y redes de colas 

            https://www.estadistica.net/IO/7-7-TEORIA-COLAS.pdf   

 LINK DE VIDEO:

https://youtu.be/LeYlXdKVY0o

Autor:

Julianny Campos

C.I 25.389.158

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

universidad autónoma de Madrid Series y redes de colas 

            https://www.estadistica.net/IO/7-7-TEORIA-COLAS.pdf  

sin nombre de autor Red de Jackson 

            https://hmong.es/wiki/Jackson_network

MODELO DE COLA CON TIEMPO DE SERVICIO CONSTANTE

     Los modelos de colas con tiempo de servicio constante se basan en un modelo de cola que se construye como multicanal distribuido en un modelo de tipo poisson donde existen líneas de espera aleatorias y una característica particular donde su tiempo de asistencia constante que va de una cola de espera y un servidor. Esto en resumen consiste en un modelo donde se realiza la misma tarea rutinaria que el asistente realiza para todos los miembros de la cola. Esto lo descarta de ser un modelo exponencial y lo categoriza principalmente como un modelo NO exponencial. Ya que en base a esto no existen casi variaciones en el proceso de servicio en función al tiempo. Expresado de manera mas técnica: 

Más sobre el Modelo de tiempo de servicio constante para que comprenda mejor lo que le proporcionará esta calculadora. El modelo de tiempo de servicio constante (o generalmente conocido como disciplina de servidor M / D / 1) es similar al modelo de servidor único (o generalmente conocido como disciplina de servidor M / M / 1), con la principal diferencia que para el modelo de tiempo de servicio constante , los tiempos de servicio son constantes. . Los principales parámetros de una línea de espera de este tipo son:

 Numero promedio de unidades en la cola:

                 Lq​=2μ(μ−λ)λ2​

Tiempo promedio que una persona pasa en la cola: 

                  Wq​=2μ(μ−λ)λ​

Numero promedio de personas en el sistema: 

                 Ls​=Lq​μλ​

Tiempo promedio que una persona pasa en el sistema: 

                 Ws​=Wq​+μ1​

Otros modelos comunes de línea de espera son los modelo de servidor único o la modelo de servidor múltiple , M / M / s, ya medida que hacemos diferentes suposiciones sobre el número de líneas, servidores y canales, podemos llegar a modelos de línea de espera bastante complejos. Matchcracker (s.f) Modelo de tiempo de servicio constante. https://mathcracker.com/es/modelo-tiempo-servicio-constante

 EJEMPLO

Tenemos el siguiente ejemplo: 

La UNEFA construye un servidor para alojar la base de datos de todos estudiantes de la universidad. Los estudiantes para formalizar su inscripción deben asistir a la coordinación para que un funcionario formalice su inscripción. Cada hora llegan 50 estudiantes, estos llegan a su coordinación siguiendo un modelo de tipo Poisson, cada inscripción dura aproximadamente 2 minutos por estudiante y estos son atendidos por un solo servidor. 

Primero tenemos los datos: 

λ= 50 estudiantes por cada hora 

μ= 2*60 = 120 Estudiantes por hora  

Deseamos calcular las características operativas del sistema:

Basta con calcular sus formulas donde primero se calculas las que no dependen de los valores de otras de la forma: 

 Lq​=2*120(120−50) 502​

= 0,14880  clientes

​



Wq =2*120(120−50)

50​

= 0,002976  minutos

Ahora se busca calcular los valores de las formulas dependientes de la forma: 

 Ls​= 0,14880*​12050​

= 0,062  clientes

 Ws​= ​0,002976+1201​

= 0,01130  minutos

VIDEO EXPLICATIVO: 

Autor: 

Ronney Matloo 

CI: 27.262.543 

INGENIERIA DE SISTEMAS 

Referencias Bibliográficas: 

myrian guaypacha [myrian guaypacha] (17 sept 2021). Modelo de Colas M/D/1. 

https://www.youtube.com/watch?v=0nvbou5I2PM&t=80s

[Sin nombre de autor] (s.f)  Modelos y Simulación. Teoria de Colas.  

http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/84843/Documento_completo.pdf?sequence=1&isAllowed=y