MODELO DE COLAS Y REDES : SERIES Y REDES. MODELO DE JACKSON ABIERTAS.

Red de colas

De acuerdo al estudio realizado por la universidad autónoma de Madrid, una red de colas es un grupo de nodos que están unidos entre sí por medio de caminos y cada nodo está formado por un sistema de colas con uno o varios servidores.

Existen dos tipos de red de colas las cerradas donde los clientes no entran ni salen del sistema por lo tanto permanecen circulando indefinidamente dentro del mismo y las abiertas donde cada cliente entra al sistema en un momento dado y tras pasar por una o varias colas sale del sistema, estas a su vez pueden ser acíclicas es cuando los clientes no pueden volver a la misma cola o cíclicas cuando hay ciclos en la red.

RED DE JACKSON ABIERTA
“Una red de Jackson (a veces red Jacksoniana) es una clase de red de colas donde la distribución de equilibrio es particularmente simple de calcular ya que la red tiene una solución en forma de producto”
Es decir para que una red de colas abiertas sea de Jackson tiene que cumplir las siguientes condiciones:
1.    Debe haber una clase de clientes.
2.   Las rutas son probabilísticas donde Pij ≥ 0 es la probabilidad de ir al nodo j después de salir del nodo i, por otro parte Pi0 es la probabilidad de salir del sistema después de haber salido del nodo i.
3.    Si casa nodo i es una cola.
La tasa de llegadas externas al nodo i tiene la notación: λi

La notación del número total de nodos en la red es: k
Ecuaciones de equilibrio:
  Teorema

En una red Jackson abierta de m colas M / M / 1 donde la utilización Pi es menor que 1 en cada cola, la distribución de probabilidad del estado de equilibrio existe y para el estado viene dado por el producto de las distribuciones de equilibrio de las colas individuales.
Medidas de rendimiento en nodos con colas M/M/1
factor de saturación:

numero medio de clientes en cola (nodo i)

Número medio de clientes en el sistema (nodo i)

Tiempo medio espera en cola de nodo i:

Tiempo medio de espera en cada nodo (subsistema):

ejemplo:

Los servidores de dos tiendas de sistemas de computación, según una disciplina FIFO, según un proceso de Poisson reciben respectivamente 20 y 30 procesos de usuarios por minuto. El servidor de la primera tienda tiene capacidad para atender una media de 100 procesos por minuto, mientras que cualquiera de los dos procesadores del servidor de la segunda tienda puede atender a 25 procesos, con tiempo de procesado exponenciales. Cuando un proceso está a punto de finalizar en el servidor de la segunda tienda crea un nuevo proceso hijo en el servidor de la primera tienda el 25% de los casos, en otro caso termina totalmente su ejecución. Por otra parte, los procesos que se encuentran a punto de finalizar en el servidor de la primera tienda crean un nuevo proceso en su servidor el 20% de los casos, en caso contrario cuando terminan su ejecución envían otro proceso al servidor de la segunda tienda un 10% de las veces.

Se necesita conocer:

a) El número medio de procesos en cada servidor.

Solución
a)  Es una red de Jackson cíclica abierta con K 2 = nodos.

Nodo 1 con un servidor S1 = 1
Nodo 2 con dos servidores S2 = 2
Tasas de llegada y servicio (procesos/ minuto) desde fuera del sistema son:
λ1=20   λ2=30 μ1=100 μ2=25
utilizamos la ecuación de equilibrio en forma matricial:

Probabilidades de transición
Las ecuaciones de los Λi son intuitivas

En cada nodo el flujo de entrada debe ser igual al flujo de salida.

La tasa global de salidas del sistema coincide con el número de procesos que entran en el sistema: